✨Phép đồng cấu

Trong đại số, phép đồng cấu là một ánh xạ bảo toàn cấu trúc giữa hai cấu trúc đại số cùng loại (chẳng hạn như hai nhóm, hai vành, hoặc hai không gian vectơ). Từ đồng âm xuất phát từ tiếng Hy Lạp Cổ đại: ὁμός () có nghĩa là "giống nhau" và μορφή () có nghĩa là "hình thức" hoặc "hình dạng". Tuy nhiên, từ này đã được đưa vào toán học do một bản dịch (sai) từ tiếng Đức ähnlich có nghĩa là "tương tự" với nghĩa là "giống nhau". Thuật ngữ "đồng cấu" xuất hiện sớm nhất từ năm 1892, bởi nhà toán học người Đức Felix Klein (1849–1925).

Phép đồng cấu của không gian vectơ còn được gọi là ánh xạ tuyến tính, và việc nghiên cứu của chúng là đối tượng trong môn học đại số tuyến tính.

Một đồng cấu cũng có thể là một phép đẳng cấu, một tự đồng cấu, một tự đẳng cấu, vân vân. Mỗi một trong số đó có thể được định nghĩa theo một cách nào đó mà tổng quát hóa cho bất kỳ loại hình thái nào.

Định nghĩa

Phép đồng cấu là một ánh xạ giữa hai cấu trúc đại số cùng loại, bảo toàn các phép toán của cấu trúc. Điều này có nghĩa là một ánh xạ $f:\; A\; \backslash to\; B$ giữa hai tập $A$, $B$ được trang bị cùng một cấu trúc thoả mãn, nếu $\backslash cdot$ là một phép toán của cấu trúc (để đơn giản hóa, ta giả sử nó là một phép toán hai ngôi), khi đó

: $f(x\backslash cdot\; y)=f(x)\backslash cdot\; f(y)$

cho mọi cặp $x$, $y$ trong các phần tử của $A$. Ta thường nói rằng $f$ bảo toàn phép toán hoặc tương thích với phép toán.

Về mặt hình thức, một ánh xạ $f:\; A\backslash to\; B$ bảo tồn phép toán $\backslash mu$ của ngôi k, được xác định trên cả hai $A$ và $B$ nếu

: $f(\backslash mu\_A(a\_1,\; \backslash ldots,\; a\_k))\; =\; \backslash mu\_B(f(a\_1),\; \backslash ldots,\; f(a\_k)),$

với mọi $a\_1,\; ...,\; a\_k$ trong $A$.

Các phép toán phải được bảo toàn bởi phép đồng cấu bao gồm các phép toán 0-ary, đó là các hằng số. Đặc biệt, khi cấu trúc yêu cầu phải bao gồm một phần tử đơn vị, phần tử đơn vị của cấu trúc đầu tiên phải được ánh xạ tới phần tử đơn vị tương ứng của cấu trúc thứ hai.