Trong toán học, cụ thể hơn là trong đại số trừu tượng, các định lý đẳng cấu (hay còn được biết với tên các định lý đẳng cấu của Noether) là các định lý mô tả các mối quan hệ giữa thương, đồng cấu và vật con. Các định lý này có các phiên bản dành cho nhóm, vành, không gian vectơ, môđun, đại số Lie, và nhiều cấu trúc đại số khác. Trong đại số phổ dụng, các định lý đẳng cấu được tổng quát hóa dưới các đại số và các phép tương đẳng.

Lịch sử

Các định lý đẳng cấu được lần đầu viết thành công thức bởi Emmy Noether trong bài Abstrakter Aufbau der Idealtheorie in algebraischen Zahl- und Funktionenkörpern, bài viết được xuất bản năm 1927 trong tạo chí Mathematische Annalen. Các phiên bản ít tổng quát hơn có thể được tìm thấy trong công trình của Richard Dedekind và các bài viết trước của Noether.

Ba năm sau, B.L. van der Waerden xuất bản cuốn sách trứ danh Moderne Algebra, cuốn sách này là sách đại số trừu tượng đầu tiên sử dụng hương tiếp cận nhóm-vành-trường cho chủ đề này. Van der Waerden ghi công các bài giảng của Noether trên lý thuyết nhóm và Emil Artin trên đại số, và chuyên đề được thực hiện bởi Artin, Wilhelm Blaschke, Otto Schreier, và chính van der Waerden tự ghi chính mình cho các ideal làm nguồn tham khảo chính.

Nhóm

Lưu ý về số thứ tự và tên

Dưới đây bốn định lý được đánh dấu lần lượt là A, B, C và D. Chúng thường được đánh thứ tự "Định lý đẳng cấu thứ nhất", "Định lý đẳng cấu thứ hai...", v.v; Tuy nhiên, không có thống nhất giữa tên gọi của các định lý đẳng cấu và mỗi tác giả có thể có cách đặt tên khác nhau. Để minh chứng, dưới đây là ví dụ của các tên gọi cho các đẳng cấu nhóm. Để ý rằng các định lý này cũng có phần tương tự khi xét vành và môđun.

Thường thì trong sách ít cho thêm định lý D, hay còn được gọi là định lý dàn, làm một trong các định lý đẳng cấu, nhưng khi cho thêm vào thì nó là cái cuối cùng.

Phát biểu các định lý

Định lý A (nhóm)

nhỏ|Biểu đồ của định lý nền tảng trên các đồng cấu

Đặt G và H là nhóm, và đặt f : G → H là đồng cấu nhóm. Khi đó:

Hạt nhân của f là nhóm con chuẩn tắc của G,

Ảnh của f là nhóm con của H, và

Ảnh của f đẳng cấu với nhóm thương G / ker(f).

Đặc biệt là, nếu f là toàn ánh thì H đẳng cấu với G / ker(f).

Định lý B (nhóm)

nhỏ|Biểu đồ cho định lý B3. Hai nhóm thương (trong hình nét đứt) đẳng cấu với nhau. Đặt $G$ là nhóm . Gọi $S$ là nhóm con của $G$, và $N$ là nhóm con chuẩn tắc của $G$. Khi đó các mệnh đề sau được thỏa mãn:

Tích $SN$ là nhóm con của $G$,

Phần giao $S\; \backslash cap\; N$ là nhóm con chuẩn tắc của $S$, và

Hai nhóm thương $(SN)/N$ và $S/(S\backslash cap\; N)$ đẳng cấu với nhau.

Song,thực ra $N$ không cần thiết phải là nhóm con chuẩn tắc, chỉ cần $S$ là nhóm con của nhóm chuẩn hóa của $N$ trong $G$ là được. Trong trường hợp này, giao $S\; \backslash cap\; N$ không phải nhóm con chuẩn tắc của $G$, nhưng nó vẫn là nhóm con chuẩn tắc của $S$.

Định lý này đôi khi được gọi là định lý đẳng cấu, hoặc định lý hình bình hành.

Một ứng dụng của định lý đẳng cấu thứ hai là dùng để xác định các nhóm tuyến tính xạ ảnh, ví dụ nhóm trên đường xạ ảnh phức bắt đầu bằng cách đặt $G\; =\; \backslash operatorname\{GL\}\_2(\backslash mathbb\{C\})$, nhóm của các ma trận phức khả nghịch kích thước 2 × 2, $S\; =\; \backslash operatorname\{SL\}\_2(\backslash mathbb\{C\})$, là nhóm con của các ma trận có định thức bằng 1, và $N$ là nhóm con chuẩn tắc của các ma trận scalar , ta có $S\; \backslash cap\; N\; =\; \{\backslash pm\; I\}$, trong đó $I$ là ma trận đơn vị, và $SN\; =\; \backslash operatorname\{GL\}\_2(\backslash mathbb\{C\})$. Khi đó, từ định lý đẳng cấu thứ hai ta được:

: $\backslash operatorname\{PGL\}\_2(\backslash mathbb\{C\})\; :=\; \backslash operatorname\{GL\}\_2\; \backslash left(\backslash mathbb\{C\})/(\backslash mathbb\{C\}^\{\backslash times\}!I\backslash right)\; \backslash cong\; \backslash operatorname\{SL\}\_2(\backslash mathbb\{C\})/\{\backslash pm\; I\}\; =:\; \backslash operatorname\{PSL\}\_2(\backslash mathbb\{C\})$

Định lý C (nhóm)

Gọi $G$ là nhóm và $N$ là nhóm con chuẩn tắc của $G$. Khi đó

Nếu $K$ là nhóm con của $G$ sao cho $N\; \backslash subseteq\; K\; \backslash subseteq\; G$, thì $G/N$ có nhóm con đẳng cấu với $K/N$.

Mọi nhóm con của $G/N$ có dạng $K/N$ cho một số nhóm $K$ của $G$ sao cho $N\; \backslash subseteq\; K\; \backslash subseteq\; G$.

Nếu $K$ là nhóm con chuẩn tắc của $G$ sao cho $N\; \backslash subseteq\; K\; \backslash subseteq\; G$, thì $G/N$ có nhóm con chuẩn tắc đẳng cấu với $K/N$.

Mọi nhóm con chuẩn tắc của $G/N$ có dạng $K/N$ cho một số nhóm con chuẩn tắc $K$ của $G$ sao cho $N\; \backslash subseteq\; K\; \backslash subseteq\; G$.

Nếu $K$ là nhóm con chuẩn tắc của $G$ sao cho $N\; \backslash subseteq\; K\; \backslash subseteq\; G$, thf nhóm thương $(G/N)/(K/N)$ đẳng cấu với $G/K$.

Định lý D (nhóm)

Định lý tương ứng (hay còn được gọi là định lý dàn) đôi khi được gọi là định lý đẳng cấu thứ ba hoặc thứ tư.

Bổ đề Zassenhaus (hay còn gọi là bổ đề con bướm) đôi khi được gọi là định lý đẳng cấu thứ tự.

Vành

Phát biểu cho các vành cũng tương tự với nhóm, trong đó thay nhóm con chuẩn tắc bằng ideal.

Định lý A (vành)

Đặt R và S là vành và φ : R → S là đồng cấu vành. Khi đó:

Hạt nhân của φ là ideal của R,

Ảnh của φ là vành con của S, và

Ảnh của φ đẳng cấu với vành thương R / ker(φ).

Đặc biệt là, nếu φ là toàn ánh thì S đẳng cấu với R / ker(φ).

Định lý B (vành)

Đặt R là vành. Gọi S là vành con của R, và gọi I là ideal của R. Khi đó:

Tổng S + I = {s + i | s ∈ S, i ∈ I } là vành con của R,

Phần giao S ∩ I là ideal của S, và

Hai vành thương (S + I) / I và S / (S ∩ I) đẳng cấu với nhau.

Định lý C (vành)

Đặt R là vành, và I là ideal của R. Khi đó

Nếu $A$ là vành con của $R$ sao cho $I\; \backslash subseteq\; A\; \backslash subseteq\; R$, thì $A/I$ là vành con của $R/I$.

Mọi vành con của $R/I$ có dạng $A/I$ cho một số vành con $A$ của $R$ sao cho $I\; \backslash subseteq\; A\; \backslash subseteq\; R$.

Nếu $J$ là ideal của $R$ sao cho $I\; \backslash subseteq\; J\; \backslash subseteq\; R$, thì $J/I$ à ideal của $R/I$.

Mọi ideal của $R/I$ có dạng $J/I$ cho một số ideal $J$ của $R$ sao cho $I\; \backslash subseteq\; J\; \backslash subseteq\; R$.

Nếu $J$ là ideal của $R$ sao cho $I\; \backslash subseteq\; J\; \backslash subseteq\; R$, thì vành thương $(R/I)/(J/I)$ đẳng cấu với $R/J$.

Định lý D (vành)

Gọi $I$ là ideal của $R$.Phép tương ứng $A\backslash leftrightarrow\; A/I$ là ánh xạ bảo toàn phép chứa giữa tập các vành con $A$ chứa $I$ của $R$ sang tập các vành con của $R/I$. Hơn nữa, $A$ (vành con chứa $I$) là ideal của $R$ khi và chỉ khi $A/I$ là ideal của $R/I$.

Môđun

Phát biểu của các định lý dành cho các môđun đơn giản hơn vì ta luôn thu được môđun thương từ bất kỳ môđun con. Các định lý đẳng cấu cho không gian vectơ (môđun trên một trường) và nhóm giao hoán (môđun trên $\backslash mathbb\{Z\}$) là các trường hợp đặc biệt. Đối với các không gian vectơ hữu hạn số chiều, tất cả các định lý này đều có thể suy ra được từ định lý về hạng.

Dưới đây, từ "môđun" luôn có nghĩa "R-môđun" cho một số vành cố định R.

Định lý A (môđun)

Đặt M và N là môđun và φ : M → N là đồng cấu môđun. Khi đó:

Hạt nhân của φ là môđun con của M,

Ảnh của φ là môđun con của N, và

Ảnh của φ đẳng cấu với môđun thương M / ker(φ).

Đặc biệt là, nếu φ là toàn ánh thì N đẳng cấu với M / ker(φ).

Định lý B (môđun)

Đặt M là môđun, và đặt S và T là môđun con của M. Khi đó:

Tổng S + T = {s + t | s ∈ S, t ∈ T} là môđun con của M,

Phần giao S ∩ T là môđun con của M, và

Môđun thương (S + T) / T và S / (S ∩ T) đẳng cấu với nhau.

Định lý C (môđun)

Đặt M là môđun, T là môđun con của M.

Nếu $S$ là môđun con của $M$ sao cho $T\; \backslash subseteq\; S\; \backslash subseteq\; M$, then $S/T$ là môđun con của $M/T$.

Mọi môđun con of $M/T$ có dạng $S/T$ cho một số môđun con $S$ của $M$ sao cho $T\; \backslash subseteq\; S\; \backslash subseteq\; M$.

Nếu $S$ là môđun con of $M$ sao cho $T\; \backslash subseteq\; S\; \backslash subseteq\; M$, thì môđun thương $(M/T)/(S/T)$ đẳng cấu với $M/S$.

Định lý D (môđun)

Đặt $M$ là môđun, và $N$ là môđun con của $M$. Khi đó có song ánh giữa các môđun con của $M$ có chứa $N$ và các môđun con của $M/N$. Phép tương ứng được cho bởi $A\backslash leftrightarrow\; A/N$ với mọi $A\backslash supseteq\; N$. Phép tương ứng này giao hoán với quá trình lấy tổng và phần giao (tức là nó là đồng cấu dàn giữa dàn của các môđun con của $M/N$ và dàn của các môđun con $M$ có chứa $N$).

Đại số phổ dụng

Để tổng quát hóa sang đại số phổ dụng, các nhóm con chuẩn tắc cần phải được thay bằng các quan hệ tương đẳng.

Quan hệ tương đẳng (hay tương đẳng) trên đại số $A$ là quan hệ tương đương $\backslash Phi\backslash subseteq\; A\; \backslash times\; A$ tạo đại số con của $A\; \backslash times\; A$, đại số con này được coi là đại số đi cùng phép toán từng phần. Ta có thể biến tập của các lớp tương đương $A/\backslash Phi$ thành một đại số có cùng kiểu qua các phép toán qua phần tử đại diện. Các phép toán này sẽ được định nghĩa tốt bởi bởi $\backslash Phi$ là đại số con của $A\; \backslash times\; A$. Cấu trúc thu về được được gọi là đại số thương.

Định lý A (đại số phổ dụng)

Gọi $f:A\; \backslash rightarrow\; B$ là đồng cấu đại số. Khi đó ảnh của $f$ là đại số con của $B$, quan hệ cho bởi $\backslash Phi:f(x)=f(y)$ (tức hạt nhân của $f$) tương đẳng trên $A$, và hai đại số $A/\backslash Phi$ và $\backslash operatorname\{im\}\; f$ đẳng cấu với nhau (Lưu ý rằng trong trường hợp nhóm, $f(x)=f(y)$ $\backslash Leftrightarrow$ $f(xy^\{-1\})\; =\; 1$, nên ta có thể tìm ra khái niệm của hạt nhân trong lý thuyết nhóm trong trường hợp này.)

Định lý B (đại số phổ dụng)

Cho đại số $A$, và đại số con $B$ của $A$, cùng với tương đẳng $\backslash Phi$ trên $A$, gọi $\backslash Phi\_B\; =\; \backslash Phi\; \backslash cap\; (B\; \backslash times\; B)$ là vết của $\backslash Phi$ trong $B$ và $[B]^\backslash Phi=\{K\; \backslash in\; A/\backslash Phi:\; K\; \backslash cap\; B\; \backslash neq\backslash emptyset\}$ là họ các lớp tương đương giao với $B$. Khi đó

$\backslash Phi\_B$ là tương đẳng trên $B$,

$\backslash \; [B]^\backslash Phi$ là đại số con của $A/\backslash Phi$, và

Đại số $[B]^\backslash Phi$ đẳng cấu với đại số $B/\backslash Phi\_B$.

Định lý C (đại số phổ dụng)

Cho$A$ là đại số và $\backslash Phi,\; \backslash Psi$ là hai quan hệ tương đẳng trên $A$ sao cho $\backslash Psi\; \backslash subseteq\; \backslash Phi$. Khi đó $\backslash Phi/\backslash Psi\; =\; \{\; ([a\text{'}]$\Psi,[a]\Psi): (a',a)\in \Phi} = [\ ]\Psi \circ \Phi \circ [\ ]\Psi^{-1} tương đẳng trên $A/\backslash Psi$, và $A/\backslash Phi$ đẳng cấu với$(A/\backslash Psi)/(\backslash Phi/\backslash Psi).$

Định lý D (đại số phổ dụng)

Cho $A$ là đại số và đặt $\backslash operatorname\{Con\}A$ là tập các tương đẳng trên $A$. Tập

$\backslash operatorname\{Con\}A$ là dàn đầy đủ sắp thứ tự theo phép chứa. Nếu $\backslash Phi\backslash in\backslash operatorname\{Con\}A$ là tương đẳng và ta ký hiệu $\backslash left[\backslash Phi,A\backslash times\; A\backslash right]\backslash subseteq\backslash operatorname\{Con\}A$ là tập tất cả các tương đẳng chứa $\backslash Phi$ (tức là $\backslash left[\backslash Phi,A\backslash times\; A\backslash right]$ là bộ lọc chính của $\backslash operatorname\{Con\}A$, hơn nữa nó còn là dàn con), khi đo ánh xạ $\backslash alpha:\backslash left[\backslash Phi,A\backslash times\; A\backslash right]\backslash to\backslash operatorname\{Con\}(A/\backslash Phi),\backslash Psi\backslash mapsto\backslash Psi/\backslash Phi$ là đẳng cấu dàn.