nhỏ|300x300px|Biểu diễn hình học của góc giữa hai vectơ, được định nghĩa bởi tích trong. thế=Scalar product spaces, inner product spaces, Hermitian product spaces.|nhỏ|300x300px|Các không gian tích vô hướng trên một trường bất kỳ có trang bị các "tích vô hướng" đối xứng và tuyến tính với đối số thứ nhất. Không gian tích Hermite được giới hạn trong trường số phức và có "tích Hermite" đối xứng liên hợp và tuyến tính với đối số thứ nhất. Không gian tích trong có thể được định nghĩa trên một trường bất kỳ và có các "tích trong" tuyến tính với đối số thứ nhất, đối xứng liên hợp và xác định dương. Không giống như các tích trong, tích vô hướng và tích Hermite không nhất thiết phải có tính xác định dương.

Trong toán học, một không gian tích trong hay không gian Hausdorff tiền Hilbert là một không gian vectơ được trang bị một phép toán hai ngôi gọi là tích trong. Phép toán này liên kết mỗi cặp vectơ trong không gian với một đại lượng vô hướng gọi là tích trong của các vectơ, thường được ký hiệu bởi dấu bra-ket (ví dụ $\backslash langle\; a,\; b\; \backslash rangle$.) Tích trong cho phép định nghĩa các khái niệm trực quan hình học như độ dài của một vectơ hay góc giữa hai vectơ. Chúng cũng cung cấp các cách định nghĩa tính trực giao giữa hai vectơ (tích trong bằng 0). Không gian tích trong tổng quát hóa không gian Euclid (trong đó tích trong chính là tích vô hướng) cho các không gian vectơ với số chiều bất kỳ (có thể vô hạn), và được nghiên cứu trong giải tích hàm. Không gian tích trong trên trường số phức đôi khi được gọi là không gian unita. Khái niệm không gian vectơ với một tích trong lần đầu tiên được sử dụng bởi Giuseppe Peano, vào năm 1898.

Một không gian tích trong thường tạo ra một chuẩn liên hệ với nó, (trong ảnh, |x| và |y| là các chuẩn của và ), một cách chính tắc nó làm cho mọi không gian tích trong là không gian vectơ định chuẩn. Nếu không gian định chuẩn này cũng là một không gian Banach thì không gian tích trong được gọi là không gian Hilbert. Nếu một không gian tích trong không là không gian Hilbert thì nó có thể được "bổ sung" để trở thành không gian Hilbert , gọi là làm đầy đủ hóa. Nói một cách rõ ràng, điều này nghĩa là được nhúng tuyến tính và đẳng cự vào một không gian con trù mật của và sao cho tích trong trên là sự bổ sung liên tục của không gian tích trong ban đầu .

Định nghĩa

Trong bài này, trường vô hướng, ký hiệu là trường số thực $\backslash mathbb\{R\}$ hoặc trường số phức $\backslash mathbb\{C\}$.

Không gian tích trong, một cách chính thức là một không gian vectơ trên trường cùng với một ánh xạ

: $\backslash langle\; \backslash cdot,\; \backslash cdot\; \backslash rangle:\; V\; \backslash times\; V\; \backslash to\; \backslash mathbb\{F\}$

gọi là một tích trong nếu nó thỏa mãn các điều kiện tiên đề (1), (2), và (3) sau đây đối với mọi vectơ và mọi vô hướng :

Tuyến tính đối với đối số thứ nhất

: $\backslash begin\{align\}$

 \langle ax, y \rangle &= a \langle x, y \rangle \\

\langle x + y, z \rangle &= \langle x, z \rangle + \langle y, z \rangle \end{align}

* Nếu điều kiện (1) được thỏa mãn và nếu tích $\backslash langle\; \backslash cdot,\; \backslash cdot\; \backslash rangle$ cũng là phản tuyến tính (còn gọi là tuyến tính liên hợp) đối với đối số thứ hai thì $\backslash langle\; \backslash cdot,\; \backslash cdot\; \backslash rangle$ được gọi là dạng nửa tuyến tính (sesquilinear form).

hay :

: $\backslash langle\; x,\; y\; \backslash rangle\; =\; \backslash overline\{\backslash langle\; y,\; x\; \backslash rangle\}$

* Điều kiện (1) và (2) là các tính chất định nghĩa một dạng Hermite, là một loại đặc biệt của dạng nửa tuyến tính. Một dạng nửa tuyến tính là Hermite khi và chỉ khi $\backslash langle\; x,\; x\; \backslash rangle$ là thực với mọi . Cụ thể, từ điều kiện (2) suy ra rằng $\backslash langle\; x,\; x\; \backslash rangle$ là một số thực với mọi .

:

: $\backslash langle\; x,\; x\; \backslash rangle\; >\; 0,\backslash quad\; \backslash text\{\; nếu\; \}\; x\; \backslash ne\; 0.$

Ba điều kiện trên là các tính chất định nghĩa một tích trong, đó là lý do tại sao tích trong đôi khi được định nghĩa (một cách tương đương) là một dạng Hermite xác định dương. Một tích trong có thể được định nghĩa một cách tương đương là một dạng nửa tuyến tính xác định dương.

Giả thiết rằng (1) được thỏa mãn, điều kiện (3) cũng sẽ được thỏa mãn khi và chỉ khi hai điều kiện thêm (4) và (5) dưới đây được thỏa mãn:

hay :

: $\backslash langle\; x,\; x\; \backslash rangle\; \backslash ge\; 0$

* Các điều kiện (1), (2), và (4) là các tính chất định nghĩa một ****, cho phép ta định nghĩa một nửa chuẩn trên được cho bởi . Nửa chuẩn này là một chuẩn khi và chỉ khi điều kiện (5) được thỏa mãn.

hay :

: $\backslash langle\; x,\; x\; \backslash rangle\; =\; 0\; \backslash quad\; \backslash text\{\; suy\; ra\; \}\; \backslash quad\; x\; =\; 0.$

Các điều kiện (1) đến (5) được thỏa mãn bởi mọi tích trong.

Tính chất sơ cấp

Tính xác định dương và tuyến tính tương ứng đảm bảo rằng:

:

Từ tính đối xứng liên hợp suy ra là thực với mọi , bởi vì

: $\backslash langle\; x,\; x\; \backslash rangle\; =\; \backslash overline\{\backslash langle\; x,\; x\; \backslash rangle\}\; \backslash ,.$

Tính đối xứng liên hợp và tuyến tính đối với đối số thứ nhất dẫn đến

:

đây tức là tính tuyến tính liên hợp đối với đối số thứ hai. Vì vậy, một không gian tích trong là một dạng nửa tuyến tính.

Có thể suy ra tổng quát hóa sau đây của khai triển bình phương của tổng:

: $\backslash langle\; x\; +\; y,\; x\; +\; y\; \backslash rangle\; =\; \backslash langle\; x,\; x\; \backslash rangle\; +\; \backslash langle\; x,\; y\; \backslash rangle\; +\; \backslash langle\; y,\; x\; \backslash rangle\; +\; \backslash langle\; y,\; y\; \backslash rangle\; \backslash ,.$

Các tính chất sau đây hợp thành tính tuyến tính đối với đối số thứ nhất và thứ hai:

:

còn được gọi là tính cộng.

Với trường hợp $\backslash mathbb\{F\}\; =\; \backslash mathbb\{R\},$ tính đối xứng liên hợp được đơn giản về tính đối xứng, còn tính nửa tuyến tính trở thành tính song tuyến. Vì thế một tích trong trên một không gian vectơ thực là một . Tức là,

:

và khai triển nhị thức trở thành:

: $\backslash langle\; x\; +\; y,\; x\; +\; y\; \backslash rangle\; =\; \backslash langle\; x,\; x\; \backslash rangle\; +\; 2\backslash langle\; x,\; y\; \backslash rangle\; +\; \backslash langle\; y,\; y\; \backslash rangle\; \backslash ,.$

Định nghĩa, ký hiệu khác và chú thích

Một trường hợp đặc biệt thường gặp của tích trong là tích vô hướng của hai vectơ, thường được ký hiệu bởi dấu chấm ở giữa $a\; \backslash cdot\; b.$

Một số tác giả, đặc biệt trong lĩnh vực vật lý và đại số ma trận thường định nghĩa tích trong và dạng nửa tuyến tính nhưng với tính tuyến tính của nó là ở đối số thứ hai thay vì thứ nhất. Vậy đối số thứ nhất có tính tuyến tính liên hợp thay vì thứ hai. Trong các ngành này chúng ta thường viết tích trong $\backslash langle\; x,\; y\; \backslash rangle$ là $\backslash langle\; y\; \backslash mid\; x\; \backslash rangle$ (ký hiệu bra-ket của cơ học lượng tử), tương ứng là (tích vô hướng với quy ước lập tích ma trận , lấy hàng của nhân cột của ).

Một số ví dụ

Số thực

Ví dụ đơn giản nhất là các số thực với tích thông thường giữa các số là tích trong

: $\backslash langle\; X,\; Y\; \backslash rangle\; =\; \backslash operatorname\{E\}(XY)$

Trong trường hợp này, khi và chỉ khi (tức là gần như chắc chắn ). Định nghĩa tích trong dưới dạng giá trị kỳ vọng này còn có thể được mở rộng đối với các vectơ tự do.

Ma trận thực

Với hai ma trận thực vuông cùng cỡ, với chuyển vị chính là phép liên hợp, tức là

: $\backslash left(\; \backslash langle\; A,\; B\; \backslash rangle\; =\; \backslash left\backslash langle\; B^\backslash textsf\{T\},\; A^\backslash textsf\{T\}\; \backslash right\backslash rangle\; \backslash right)$

là một tích trong.

Chuẩn

Không gian tích trong là không gian vectơ định chuẩn với chuẩn (norm) được định nghĩa bởi

: $|x|\; =\; \backslash sqrt\{\backslash langle\; x,\; x\; \backslash rangle\}.$

Vì với mọi không gian vectơ định chuẩn, không gian tích vô hướng là không gian metric với khoảng cách được định nghĩa bởi

: $d(x,\; y)\; =\; |\; y\; -\; x\; |.$

Các tiên đề của tích trong đảm bảo rằng ánh xạ trên tạo ra một chuẩn, có các tính chất sau.