✨Trường hữu hạn

Trong toán học, một trường hữu hạn là một trường chứa một số hữu hạn các phần tử. Ví dụ phổ biến nhất của các trường hữu hạn là các số nguyên mod với là số nguyên tố.

Tính chất

Số lượng phần tử của một trường hữu hạn được gọi là cấp hoặc bậc của nó, hoặc đôi khi, kích thước của nó. Trường hữu hạn cấp tồn tại khi và chỉ khi là một lũy thừa nguyên tố (trong đó là số nguyên tố và là số nguyên dương). Trong cấp , tổng của lần bất kỳ phần tử nào luôn có kết quả bằng 0; tức là, đặc số của trường là .

Nếu $q=p^k,$ tất cả các trường cấp là đẳng cấu. Hơn nữa, một trường không thể chứa hai trường con hữu hạn khác nhau có cùng cấp. Do đó, người ta có thể xác định tất cả các trường hữu hạn có cùng cấp và chúng được ký hiệu là $\backslash mathbb\{F\}\_\{q\}$, hoặc .

Tất cả các phần tử của một trường hữu hạn cấp đều là nghiệm của đa thức . Các phần tử khác không của một trường hữu hạn tạo thành một nhóm nhân. Nhóm này là xiclic, vì vậy tất cả các phần tử khác không có thể được biểu diễn dưới dạng lũy thừa của một phần tử duy nhất gọi là phần tử nguyên thủy của trường. (Nói chung một trường có nhiều hơn một phần tử nguyên thủy.)

: $\{\backslash rm\; GF\}(q)\; =\; \{\backslash rm\; GF\}(p)[X]/(P)$

Sự tồn tại và tính duy nhất

Đặt là một lũy thừa nguyên tố và $F$ là trường phân rã của đa thức

: $P=X^q-X$

trên trường . Thế thì $F$ là một trường hữu hạn có cấp bằng $q$.

Việc mọi trường cấp $q$ đều đẳng cấu với nhau là hệ quả của tính duy nhất xê xích một đẳng cấu của trường phân rã. Ngoài ra, nếu một trường có một trường con $K$ với cấp   thì các phần tử của $K$ là các nghiệm của đa thức và $K$ là trường con cấp $q\text{'}$ duy nhất của $F$.

Xây dựng tường minh

Các trường không nguyên tố

Với một lũy thừa nguyên tố với số nguyên tố và , trường có thể được xây dựng tường minh như sau. Đầu tiên ta chọn một đa thức bất khả quy trong sao cho bậc của $P$ bằng (định lý - luôn tồn tại một đa thức như vậy). Thế thì vành thương

:$\{\backslash rm\; GF\}(q)\; =\; \{\backslash rm\; GF\}(p)[X]/(P).$

của vành đa thức bởi i-đê-an chính sinh bởi là một trường cấp .

Trường bốn phần tử

Trên , chỉ có một đa thức bất khả quy bậc duy nhất:

: $X^2+X+1$

Do đó, ta có một đẳng cấu $GF(4)\backslash simeq\; GF(2)[X]/(X^2+X+1)$.

Nếu ký hiệu là một nghiệm của đa thức $P$ trong , ta có bảng các phép toán trong như sau.

! scope="row" |

! scope="row" |

|}

Cấu trúc nhân