Trong đại số tuyến tính, hai vectơ trong một không gian tích trong là trực chuẩn nếu chúng trực giao (hay vuông góc) và đều là vectơ đơn vị. Một tập hợp vectơ tạo thành một tập hợp trực chuẩn nếu tất cả vectơ trong tập hợp trực giao và tất cả đều có độ dài bằng đơn vị. Một tập hợp trực chuẩn tạo thành một cơ sở được gọi là cơ sở trực chuẩn.

Tổng quan

Việc xây dựng tính trực giao của vectơ được thúc đẩy bởi mong muốn mở rộng trực quan khái niệm về sự vuông góc của các vectơ cho các không gian có chiều cao hơn. Trong mặt phẳng Descartes, hai vectơ được gọi là vuông góc nếu góc giữa chúng là 90° (tức là nếu chúng tạo thành một góc vuông). Định nghĩa này có thể được hình thức hóa trong không gian Descartes bằng khái niệm tích vô hướng và xác định rằng hai vectơ trong mặt phẳng là trực giao nếu tích vô hướng của chúng bằng 0.

Tương tự, việc xây dựng khái niệm chuẩn của một vectơ được thúc đẩy bởi mong muốn mở rộng trực quan khái niệm về độ dài của một vectơ cho các không gian có số chiều cao hơn. Trong không gian Descartes, chuẩn của một vectơ là căn bậc hai của tích vô hướng của vectơ đó với chính nó. Tức là,

: $|\; \backslash mathbf\{x\}\; |\; =\; \backslash sqrt\{\; \backslash mathbf\{x\}\; \backslash cdot\; \backslash mathbf\{x$

Nhiều kết quả quan trọng trong đại số tuyến tính liên quan tới tập hợp hai hay nhiều các vectơ trực giao. Nhưng thường xuyên, sẽ dễ dàng hơn nếu ta xử lý với các vectơ có chiều dài bằng đơn vị. Tức là, sẽ đơn giản hơn nếu chỉ xét các vectơ với chuẩn bằng 1. Việc giới hạn các cặp vectơ trực giao về các vectơ có độ dài đơn vị là đủ quan trọng để có tên gọi riêng. Hai vectơ vừa trực giao và có độ dài 1 được gọi là trực chuẩn.

Ví dụ đơn giản

Một cặp vectơ trong không gian Euclid 2D sẽ trông như thế nào?

Cho u = (x₁, y₁) và v = (x₂, y₂). Xét các ràng buộc trên x₁, x₂, y₁, y₂ để làm u và v trở thành một cặp trực chuẩn.

• Theo điều kiện trực giao ta có u • v = 0.
• Theo điều kiện độ dài đơn vị với u, ta có ||u|| = 1.
• Theo điện kiện độ dài đơn vị với v, ta có ||v|| = 1.

Khai triển các điều kiện trên ta có hệ 3 phương trình:

$x\_1\; x\_2\; +\; y\_1\; y\_2\; =\; 0\; \backslash quad$

$\backslash sqrt,\; \backslash frac\{\backslash sin(2x)\}\{\backslash sqrt\{\backslash pi,\; \backslash ldots,\; \backslash frac\{\backslash sin(nx)\}\{\backslash sqrt\{\backslash pi,\; \backslash frac\{\backslash cos(x)\}\{\backslash sqrt\{\backslash pi,\; \backslash frac\{\backslash cos(2x)\}\{\backslash sqrt\{\backslash pi,\; \backslash ldots,\; \backslash frac\{\backslash cos(nx)\}\{\backslash sqrt\{\backslash pi\; \backslash right\},\; \backslash quad\; n\; \backslash in\; \backslash mathbb\{N\}$

tạo thành một tập trực chuẩn.

Tuy nhiên, điều này không có nhiều hệ quả, bởi không gian C[−π,π] là vô hạn chiều, và một tập hữu hạn không thể sinh nó. Tuy nhiên, bỏ đi ràng buộc rằng n là hữu hạn khiến cho tập trở nên trù mật trên C[−π,π] và do đó là một cơ sở trực chuẩn của C[−π,π].