✨Tọa độ tỉ cự

Trong hình học, hệ tọa độ Barycentric (Còn gọi là Hệ tọa độ tỉ cự) là một hệ tọa độ trong đó vị trí của một điểm trong một đa diện, được xác định là một trọng tâm hay tâm tỉ cự. Tọa độ cũng được mở rộng bên ngoài đa diện, nơi có một hoặc nhiều tọa độ có giá trị âm. Khái niệm này được giới thiệu bởi August Ferdinand Mobius (1827).

Định nghĩa

Cho $x\_1,...,x\_n$ là một hệ điểm trên một đa diện của không gian afin A (affine space). Nếu một điểm p thuộc A, :$\backslash text\{p\}\backslash sum\_\{i=1\}^na$i = \sum{i=1}^na_ix_i hay $(a\_1+a\_2+\backslash cdots+a\_n)\backslash text\{p\}=a\_1x\_1+a\_2x\_2+\backslash cdots+a\_nx\_n$ và có ít nhất một trong $a\_1,\backslash dots,a\_n$ không bị triệt tiêu nên ta nói rằng dãy các hệ số $\backslash left(a\_1,a\_2,\backslash dots,a\_n\backslash right)$ là một tọa độ Barycentric của p có mối quan hệ với dãy $x\_1,\backslash ldots,x\_n.$ Bản thân các đỉnh của chúng có tọa độ $x\_1=(1,0,0,...,0),\; x\_2=(0,1,0,...,0),\; x\_n=(0,0,...,1).$ Các tọa barycentric không phải là duy nhất: với mọi b khác 0, $ba\_1,...ba\_n$ cũng là tọa độ barycentric của p. Nếu tọa độ không âm, p nằm trong bao lồi của $x\_1,...,x\_n$, vậy trong một đa diện, điểm của nó được xem như là một đỉnh.

Theo định nghĩa, tọa độ barycentric được biểu diễn dưới dạng tọa độ đồng nhất. Đôi khi giá trị của tọa độ bị hạn chế bởi một điều kiện :$\backslash sum\; a\_i=1$ làm cho các tọa độ đó là duy nhất, cho nên chúng là tọa độ afin (affine coordinates).

Tọa độ barycentric trên một tam giác

thumb|Các tọa độ barycentric $(\backslash lambda${1}, \lambda{2}, \lambda_{3}) trong tam giác đều và tam giác vuông. Trong tam giác, tọa độ barycentric có thể được nói với tên gọi khác là tọa độ của một bề mặt, vì tọa độ của P liên hệ đến các tam giác PBC, PCA và PAB trong tam giác lớn nhất ABC. Tọa độ barycentric là một công cụ rất quan trọng trong các ứng dụng kỹ thuật liên quan đến tam giác bao gồm miền con của tam giác. Nó cho thấy việc phân tích và tính toán một bài toán trở nên dễ dàng và các bảng tứ phương Gauss được trình bày trong đó có các tọa độ barycentric. Xét một tam giác $T$ cấu thành bởi 3 đỉnh r₁, r₂ và r₃. Với mỗi điểm đó ta có thể viết một tổ hợp lồi của 3 điểm. Nói cách khác, với mỗi điểm r ta có thứ tự duy nhất các số $\backslash lambda\_1,\backslash lambda\_2,\backslash lambda\_3\backslash ge\; 0$ vậy nên $\backslash lambda\_1+\backslash lambda\_2+\backslash lambda\_3=1$ và :$r=\backslash lambda\_1r\_1+\backslash lambda\_2r\_2+\backslash lambda\_3r\_3.$ 3 số $\backslash lambda\_1,\backslash lambda\_2,\backslash lambda\_3$ chỉ ra rằng tọa độ của điểm r liên hệ với tam giác. Nó có thể được ký hiệu dưới dạng $\backslash alpha,\backslash beta,\backslash gamma.$ Chú ý rằng mặc dù nó có 3 tọa độ nhưng nó chỉ có 2 "mức độ tự do", vì $\backslash lambda\_1+\backslash lambda\_2+\backslash lambda\_3=1.$

Chuyển đổi giữa tọa độ barycentric và tọa độ Cartesian

Với mỗi điểm r trong một tam giác có thể tìm được tọa độ barycentric $\backslash lambda\_1,\backslash lambda\_2,\backslash lambda\_3$ từ tọa độ Cartesian $(x,y)$ và ngược lại.

Ta có thể viết tọa độ Cartesian của điểm r bằng các thành phần Cartesian của một hệ điểm tam giác $r\_1,r\_2,r\_3$ với $r\_i=(x\_i,y\_i)$, về tọa độ r thì ta có :$x=\backslash lambda\_1x\_1+\backslash lambda\_2x\_2+\backslash lambda\_3x\_3$ :$y=\backslash lambda\_1y\_1+\backslash lambda\_2y\_2+\backslash lambda\_3x\_3.$ Để đổi ngược lại, từ tọa độ Cartesian vào tọa độ barycentric, đầu tiên thế $\backslash lambda\_3=1-\backslash lambda\_1-\backslash lambda\_2$ vào hai biểu thức trên để ta có được :$x=\backslash lambda\_1x\_1+\backslash lambda\_2x\_2+(1-\backslash lambda\_1-\backslash lambda\_2)x\_3$ :$y=\backslash lambda\_1y\_1+\backslash lambda\_2y\_2+(1-\backslash lambda\_1-\backslash lambda\_2)y\_3$ Chuyển vế đổi dấu ta được :$\backslash lambda\_1(x\_1-x\_3)+\backslash lambda\_2(x\_2-x\_3)+x\_3-x=0$ :$\backslash lambda\_1(y\_1-y\_3)+\backslash lambda\_2(y\_2-y\_3)+y\_3-y=0$ Biến đổi tuyến tính có thể viết gọn là :$\backslash overrightarrow\{T\}\backslash cdot\backslash overrightarrow\{\backslash lambda\}=\backslash vec\; r-\backslash vec\; r\_3$ với $\backslash vec\{\backslash lambda\}$ là vector có tọa độ barycentric, r là vector có tọa độ Cartesian và $\backslash overrightarrow\{T\}$ là ma trận được cho bởi :

$\backslash overrightarrow\{T\}$ khả nghịch khi $\backslash vec\; r\_1-\backslash vec\; r\_3$ và $\backslash vec\; r\_2-\backslash vec\; r\_3$ độc lập tuyến tính (nếu đây không phải là trường hợp, $\backslash vec\; r\_1,\backslash vec\; r\_2,\backslash vec\; r\_3$ có thể là song tuyến tính và không cấu thành tam giác). Thật vậy, ta có thể thế số trên vào phương trình để :$\backslash left(\backslash begin\{matrix\}\backslash lambda\_1\; \backslash \backslash \; \backslash lambda\_2\backslash end\{matrix\}\backslash right)\; =\; \backslash overrightarrow\{T\}^\{-1\}\; (\backslash overrightarrow\{r\}-\backslash overrightarrow\{r\}\_3)\; \backslash ,$ Quá trình đi tìm tọa barycentric không khác gì đi tìm ma trận khả nghịch của $\backslash overrightarrow\{T\},$ khá dễ dàng trong trường hợp ma trận 2×2. Rõ ràng ta thấy các công thức tính tọa độ barycentric của điểm _r_ về tọa độ Cartesian của chúng (_x_,_y_) và về tọa độ Cartesian của hệ điểm trong tam giác sẽ có là :$\backslash lambda\_1=\backslash frac\{(y\_2-y\_3)(x-x\_3)+(x\_3-x\_2)(y-y\_3)\}\{\backslash det(T)\}=\backslash frac\{(y\_2-y\_3)(x-x\_3)+(x\_3-x\_2)(y-y\_3)\}\{(y\_2-y\_3)(x\_1-x\_3)+(x\_3-x\_2)(y\_1-y\_3)\}\backslash ,,$ với $\backslash mathbf\{R\}\; =\; \backslash left(\backslash begin\{matrix\}\; \backslash mathbf\{r\}\_1\; |\; \backslash mathbf\{r\}\_2\; |\; \backslash mathbf\{r\}\_3\; \backslash end\{matrix\}\backslash right)$ :$\backslash lambda\_2=\backslash frac\{(y\_3-y\_1)(x-x\_3)+(x\_1-x\_3)(y-y\_3)\}\{\backslash det(T)\}=\backslash frac\{(y\_3-y\_1)(x-x\_3)+(x\_1-x\_3)(y-y\_3)\}\{(y\_2-y\_3)(x\_1-x\_3)+(x\_3-x\_2)(y\_1-y\_3)\}\backslash ,,$ :$\backslash lambda\_3=1-\backslash lambda\_1-\backslash lambda\_2\backslash ,.$ Một cách khác để chuyển đổi từ tọa độ Cartesian sang tọa độ barycentric để viết lại biểu thức dưới dạng ma trận :$\backslash vec\{r\}\; =\; \backslash vec\{R\}\; \backslash vec\{\backslash lambda\}$ với $\backslash overrightarrow\{R\}\; =\; \backslash left(\backslash begin\{matrix\}\; \backslash vec\{r\}\_1\; |\; \backslash vec\{r\}\_2\; |\; \backslash vec\{r\}\_3\; \backslash end\{matrix\}\backslash right)$ và :$\backslash vec\{\backslash lambda\}\; =\; \backslash left(\backslash lambda\_1,\backslash lambda\_2,\backslash lambda\_3\backslash right)^\backslash top.$ Và điều kiện $\backslash lambda\_1+\backslash lambda\_2+\backslash lambda\_3=1$ ghi chú $\backslash left(1,1,1\backslash right)\; \backslash vec\{\backslash lambda\}\; =\; 1$ và tọa độ barycentric có thể được giải quyết như các giải pháp của các hệ tuyến tính : ### Chuyển đổi giữa tọa độ barycentric và tọa độ tam tuyến tính Một điểm có tọa độ tam tuyến tính _x_:_y_:_z_ có tọa độ barycentric _ax_:_by_:_cz_ với _a_, _b_ và _c_ là các _độ dài phụ_ của tam giác nào đó. Nhưng ngược lại, một điểm có tọa độ barycentric _α_:_β_:_γ_ sẽ có tọa độ tam tuyến tính _α_/_a_:_β_/_b_:_γ_/_c_. ### Ứng dụng: Xác định vị trí đối với một tam giác ### Ứng dụng: Phép nội suy trên lưới phi cấu trúc tam giác ### Ứng dụng: Tích phân trên một tam giác ### Ví dụ Đường tròn ngoại tiếp của một tam giác _ABC_ có tọa độ barycentric :$a^2(-a^2\; +\; b^2\; +\; c^2):\backslash ;b^2(a^2\; -\; b^2\; +\; c^2):\backslash ;c^2(a^2\; +\; b^2\; -\; c^2)\backslash ,$ :$=\backslash sin\; 2A:\backslash sin\; 2B:\backslash sin\; 2C,$ với _a_, _b_ và _c_ lần lượt là độ dài các cạnh _BC_, _CA_, _AB_ của một tam giác. Trực tâm của tam giác cũng tương tự :$\backslash tan\; A:\backslash tan\; B:\backslash tan\; C.$ Incenter cũng có :$a:b:c=\backslash sin\; A:\backslash sin\; B:\backslash sin\; C.$ Tâm cửu-điểm cũng có :$a\backslash cos(B-C):b\backslash cos\; (C-A):c\backslash cos\; (A-B)$ ::$=a^2(b^2+c^2)-(b^2-c^2)^2:b^2(c^2+a^2)-(c^2-a^2)^2:c^2(a^2+b^2)-(a^2-b^2)^2.$

Tọa độ trên một tứ diện

Ở đây biểu thức lại được biểu diễn dưới dạng biến đổi tuyến tính (nhưng khác ở chỗ là chúng ta đang xét trên một tứ diện trong $\backslash mathbb\{R\}^3$ nên nó có 4 điểm - thì sẽ có 4 thành phần số trong tọa độ :$\backslash left(\backslash begin\{matrix\}\backslash lambda\_1\; \backslash \; \backslash lambda\_2\; \backslash \; \backslash lambda\_3\backslash end\{matrix\}\backslash right)\; =\; \backslash overrightarrow\{T\}^\{-1\}\; (\backslash overrightarrow\{r\}-\backslash overrightarrow\{r\}\_4)\; \backslash ,$ trong đó $\backslash overrightarrow\{T\}$ là một ma trận cấp 3×3: :