Trong cơ học lượng tử, Phép đo lượng tử yếu là một trường hợp đặc biệt của mô hình chuẩn von Neumann cho phép đo lượng tử, trong đó hệ lượng tử cần đo tương tác hoặc liên kết yếu với máy đo. Một hệ quả quan trọng của quá trình này là "giá trị yếu" thể hiện trên máy đo. Trái ngược với các phép đo chuẩn của cơ học lượng tử, giá trị yếu có thể nằm ngoài vùng trị riêng khả dĩ của biến lượng tử mô tả cho phép đo và thậm chí nó có thể là một số phức. Đặc điểm này của giá trị yếu hoàn toàn không đối nghịch với các khái niệm cơ bản của cơ học lượng tử và là một ví dụ của nguyên lý bất định Heisenberg.

Khái niệm phép đo lượng tử yếu và giá trị yếu được đề xuất lần đầu bởi Y. Aharonov, D. Z. Albert và L. Vaidman (AAV) trong bài nghiên cứu với tiêu đề hấp dẫn "Làm thế nào để phép đo thành phần spin của một hạt spin-1/2 đạt giá trị 100". Các thí nghiệm cho phép đo lượng tử yếu được hiện thực hóa lần đầu vào năm 1990 và năm 1992. Mới đây, phép đo yếu đã được sử dụng để nghiên cứu nghịch lý Hardy.

Phép đo lượng tử yếu

Một phép đo lượng tử yếu bao gồm 4 bước sau đây:

Sự chọn lọc trước (tiếng Anh: pre-selection): hệ cần đo được chuẩn bị ở trạng thái $|\backslash Psi\; \backslash rangle\_i$.

tương tác yếu giữa hệ cần đo và máy đo.

Sự chọn lọc sau (tiếng Anh: post-selection): hệ cần đo đi qua một phép đo lượng tử chuẩn (mạnh) để biến đổi thành trạng thái $|\backslash Psi\; \backslash rangle\_f$.

Giá trị trên máy đo được thu thập.

Trong các phép đo gián tiếp, sự tương tác yếu được thể hiện sự tương tác giữa hệ cần đo và hệ phụ trợ (tiếng Anh: ancilla), điển hình như trong thí nghiệm xác định độ phân cực của photon, trong đó độ phân cực của hệ phụ trợ được đo và sau đó được dùng để suy ra độ phân cực của hệ chính. Sự tương tác yếu trong thí nghiệm này được thể hiện qua sự tương tác giữa hệ cần đo và hệ phụ trợ khi đi qua cổng CNOT. Giả sử, tại thời điểm ban đầu, trạng thái của hệ chính được cho bởi $|S\; \backslash rangle\; =\; \backslash alpha\; |0\; \backslash rangle\; +\; \backslash beta\; |1\; \backslash rangle$, $\backslash alpha,\; \backslash beta\; \backslash in\; \backslash mathbb\{C\}$; trạng thái của hệ phụ là $|M\; \backslash rangle\; =\; \backslash cos\; \backslash frac\{\backslash theta\}\{2\}\; |0\; \backslash rangle\; +\; \backslash sin\; \backslash frac\{\backslash theta\}\{2\}\; |1\; \backslash rangle$. Trạng thái ban đầu của toàn hệ sẽ là:

:$|\backslash Phi\_i\; \backslash rangle\; =\; |S\backslash rangle\; \backslash otimes\; |M\; \backslash rangle\; =\; (\backslash alpha\; |0\; \backslash rangle\; +\; \backslash beta\; |1\; \backslash rangle)\_S\; \backslash otimes\; (\backslash cos\; \backslash frac\{\backslash theta\}\{2\}\; |0\; \backslash rangle\; +\; \backslash sin\; \backslash frac\{\backslash theta\}\{2\}\; |1\; \backslash rangle)\_M$

Khi đi qua cổng CNOT, nếu qubit điều khiển là $|0\; \backslash rangle$ thì qubit mục tiêu được giữ nguyên; nếu qubit điều khiển là $|1\; \backslash rangle$ thì qubit mục tiêu bị biến đổi $|0\; \backslash rangle\; \backslash rightarrow\; |1\; \backslash rangle$ và ngược lại. Khi đó trạng thái của toàn hệ sau cổng CNOT sẽ là:

:$|\backslash Phi\_f\; \backslash rangle\; =\; \backslash alpha\; |0\; \backslash rangle\_S\; \backslash otimes\; (\backslash cos\; \backslash frac\{\backslash theta\}\{2\}\; |0\; \backslash rangle\; +\; \backslash sin\; \backslash frac\{\backslash theta\}\{2\}\; |1\; \backslash rangle)\_M\; +\; \backslash beta\; |1\; \backslash rangle\_S\; \backslash otimes\; (\backslash cos\; \backslash frac\{\backslash theta\}\{2\}\; |1\; \backslash rangle\; +\; \backslash sin\; \backslash frac\{\backslash theta\}\{2\}\; |0\; \backslash rangle)\_M$

Ta có thể thấy rằng khi $\backslash theta\; =\; \backslash frac\{\backslash pi\}\{2\}$ trạng thái của toàn hệ sau cổng CNOT không thay đổi. Do đó, tham số $\backslash theta$ có thể đặc trưng cho sự tương tác của phép đo và phép đo yếu xảy ra khi $\backslash theta\; =\; \backslash frac\{\backslash pi\}\{2\}\; -\; \backslash epsilon$, với .

Giá trị yếu

Xét một hệ hạt được chuẩn bị ở trạng thái $|\; \backslash Psi\; \backslash rangle\_i$ và ta muốn đo biến lượng tử $\backslash hat\{A\}$ trên hệ hạt này. Một phép đo chỉ diễn ra khi có sự tương tác giữa hệ cần đo và máy đo. Theo mô hình von Neumann cho phép đo lượng tử, sự tương tác này được biểu diễn bởi hàm Hamiltonian tương tác:

:$\backslash hat\{H\}\; =\; g(t)\; \backslash hat\{A\}\; \backslash hat\{P\}$

trong đó $\backslash hat\{P\}$ là toán tử động lượng của kim chỉ trên máy đo. Toán tử liên hiệp với nó là toán tử tọa độ của kim chỉ $\backslash hat\{Q\}$; $g(t)$ là hàm phụ thuộc thời gian, biểu trưng cho sự tương tác giữa hệ cần đo và máy đo. Thông thường, phép đo chỉ diễn ra trong một khoảng thời gian rất ngắn. Do đó, ta có thể giả định $g(t)\; =\; g\; \backslash delta\; (t\; -\; t\_0)$, trong đó $g$ là một hằng số. Bởi vì phép đo cũng là một hệ lượng tử, do đó nó phải có trạng thái lượng tử, giả sử $|\backslash Phi\; \backslash rangle$. Ban đầu, trạng thái của toàn hệ là $|\; \backslash Psi\_i\; \backslash rangle\; \backslash otimes\; |\backslash Phi\; \backslash rangle$. Khi máy đo tương tác với hệ cần đo, trạng thái của toàn hệ sẽ là $e^\{-ig\; \backslash hat\{A\}\; \backslash hat\{P\; |\backslash Psi\_i\; \backslash rangle\; |\backslash Phi\; \backslash rangle$. Sau đó, sự lựa chọn sau $\backslash langle\; \backslash Psi\_f|$được áp đặt lên hệ cần đo, dẫn đến trạng thái của kim chỉ trên máy đo (chưa được chuẩn hóa) biến đổi thành:

:$|\backslash alpha\; \backslash rangle\; =\; \backslash langle\; \backslash Psi\_f|\; e^\{-ig\; \backslash hat\{A\}\; \backslash hat\{P\; |\backslash Psi\_i\; \backslash rangle\; |\backslash Phi\; \backslash rangle$

Trong các phép đo thông thường, hệ số tương tác $g$ lớn, nên hàm sóng của kim chỉ trên máy đo sau tương tác sẽ có dạng $\backslash Phi(Q-g\backslash langle\; \backslash hat\{A\}\; \backslash rangle)$ với $\backslash langle\; \backslash hat\{A\}\; \backslash rangle$ là giá trị trông đợi của toán tử $\backslash hat\{A\}$. Nếu ta giới hạn hệ số tương tác $g$ ở mức rất nhỏ, ta có thể bỏ qua các phần tử chứa bậc cao và chỉ giữ lại phần tử phụ thuộc bậc nhất theo $g$ trong khai triển Taylor của trạng thái của kim chỉ trên máy đo:

:

Kết quả này cho thấy khi tiến trình đo kết thúc, hàm sóng của kim chỉ sẽ là $\backslash Phi(Q\; -\; gA\_w)$. Ở đây, $A\_w$ được định nghĩa là giá trị yếu của toán tử $\backslash hat\{A\}$ với $|\backslash Psi\_i\; \backslash rangle$ và $|\backslash Psi\_f\; \backslash rangle$ là các trạng thái lựa chọn trước và sau:

:$A\_w\; =\; \backslash frac\{\backslash langle\; \backslash Psi\_f\; |\backslash hat\{A\}\; |\; \backslash Psi\_i\; \backslash rangle\}\{\backslash langle\; \backslash Psi\_f\; |\backslash Psi\_i\; \backslash rangle\}$

Trong các phép đo thông thường, cơ học lượng tử bắt buộc rằng kim chỉ của máy đo bị giới hạn trong vùng trị riêng của toán tử và nó phải là số thực. Quan sát công thức này, ta thấy rằng $A\_w$ nói chung là một số phức và có thể nằm ngoài khoảng trị riêng khả dĩ của $\backslash hat\{A\}$. Điểm đặc trưng này của phép đo yếu không hoàn toàn bác bỏ các lập luận của cơ học lượng tử. Thay vào đó, nó có thể được coi là một kết quả của nguyên lý bất định Heisenberg. Nghĩa là, vì ta đã suy giảm hệ số tương tác của phép đo, ta không thể thu được thông tin chính xác về kết quả của phép đo, ở đây là giá trị trông đợi $\backslash langle\; \backslash hat\{A\}\; \backslash rangle$.

Trong trường hợp tổng quát, trạng thái chọn lọc trước có thể là trạng thái hỗn hợp:$\backslash hat\{\backslash rho\}$ và sự chọn lọc sau được thay thế bởi bộ phép đo các toán tử dương:$\backslash left\{\; \backslash hat\{\backslash Pi\}^i\; \backslash right\}$ (tiếng Anh: Positive-operator valued measure - POVM) thì biểu thức tổng quát cho giá trị yếu được cho bởi:

:$A\_w^i\; =\; \backslash frac\{\backslash mathrm\{tr\}(\backslash hat\{\backslash Pi\}^i\; \backslash hat\{A\}\; \backslash hat\{\backslash rho\})\}\{\backslash mathrm\{tr\}(\backslash hat\{\backslash Pi\}^i\; \backslash hat\{\backslash rho\})\}$

Lưu ý rằng hiện nay có 2 cách trình bày để dẫn đến giá trị yếu. Cách lập luận theo hệ số tương tác được trình bày ở đây dựa trên bài báo của R. Jozsa và được coi là cách thuận tiện nhất để giới thiệu giá trị yếu và dễ dàng cho ngành thông tin lượng tử. Một cách dẫn giải khác dựa trên độ bất định ban đầu của kim chỉ được trình bày trong bài báo của AAV .

Mục đích chính của AAV khi phát triển lý thuyết phép đo yếu là để nghiên cứu sự biến đổi của trạng thái lượng tử trong quá trình tương tác. Nhận thấy vai trò quan trọng của sự chọn lọc trước và sau trong giá trị yếu, Aharonov đã mở rộng các khái niệm này để xây dựng mô hình lý thuyết dựa trên vector của 2 trạng thái (tiếng Anh: two-state vector formalism) và nhấn mạnh quan điểm thời gian là đối xứng trong cơ học lượng tử.