✨Ma trận Laplace

Ma trận Laplace

Trong lý thuyết đồ thị, ma trận Laplace, hay còn gọi là ma trận Kirchhoff, hoặc ma trận dẫn nạp, là một cách biểu diễn đồ thị bằng ma trận. Theo định lý Kirchhoff, nó có thể dùng để tính số cây bao trùm của đồ thị. Ma trận Laplace cũng cung cấp nhiều thông tin khác về đồ thị; có thể xem chi tiết hơn ở lý thuyết phổ đồ thị. Bất đẳng thức Cheeger trong hình học Riemann cũng có một dạng rời rạc sử dụng ma trận Laplace. Nó có thể dùng để tính xấp xỉ lát cắt thưa nhất (tiếng Anh - sparsest cut) của đồ thị thông qua giá trị đặc trưng thứ hai của ma trận Laplace.

Định nghĩa

Cho một đồ thị G = (V, E) với tập hợp đỉnh V và tập hợp cạnh E, cùng với một hàm trọng số $w:E\rightarrow \mathbb{R}^+$ ( $\mathbb{R}^+$ dùng để chỉ tập hợp số thực dương). Ma trận kề A_G của đồ thị được định nghĩa như sau: : $A_G(i,j):=
\begin{cases}
w(i,j) & khi\ (i,j)\in E\
0 & khi\ (i,j)\not\in E
\end{cases}$ Ma trận bậc _D_G_ là một ma trận đường chéo được định nghĩa như sau: : $D_G(i,i):=\sum_j A_G(i,j)$ Ma trận Laplace _L_G_ được định nghĩa bởi : $L_G = D_G - A_G$

Có một định nghĩa khác tương đương như sau. Định nghĩa ma trận Laplace L_e của một cạnh e=(i,j) là ma trận với L_e(i,i)=L_e(j,j)=1 và L_e(i,j)=L_e(j,i)=-1. Ma trận L_G được định nghĩa bởi : $L$ G = \sum{e\in E}w_e L_e

Ví dụ

Dưới đây là một ví dụ đơn giản về một đồ thị có nhãn, vô hướng và ma trận Laplace của nó.

Tính chất

Với bất kì đồ thị G nào cùng với ma trận Laplace tương ứng với các giá trị đặc trưng $\lambda_0 \le \lambda$ 1 \le \cdots \le \lambda{n-1}:

L luôn xác định không âm ( $\forall i, \lambda_i \ge 0;\quad \lambda_0 = 0$ ).
Số giá trị đặc trưng của ma trận Laplace nhận giá trị 0 là số thành phần liên thông của đồ thị.
$\lambda_0$ luôn bằng 0 do mọi ma trận Laplace đều có vectơ đặc trưng $[1,1,\dots,1]$ tương ứng với giá trị đặc trưng 0.

👁️ 68 | ⌚2025-09-16 22:30:09.074

Shopee Việt Nam Smartlink cho tất cả thiết bị

Ma trận Laplace

Trong lý thuyết đồ thị, **ma trận Laplace**, hay còn gọi là ma trận Kirchhoff, hoặc ma trận dẫn nạp, là một cách biểu diễn đồ thị bằng ma trận. Theo định lý Kirchhoff, nó

Ma trận vuông

nhỏ| Một ma trận vuông bậc 4. Các giá trị

a_{ii}

tạo thành [[đường chéo chính của một ma trận vuông. Chẳng hạn, đường chéo chính của ma trận 4 nhân 4 ở trên chứa

Ma trận (toán học)

phải|Mỗi phần tử của một ma trận thường được ký hiệu bằng một biến với hai chỉ số ở dưới. Ví dụ, a_2,1 biểu diễn phần tử ở hàng thứ hai và cột thứ nhất

Khai triển Laplace

Trong đại số tuyến tính, **khai** **triển Laplace**, được đặt tên theo Pierre-Simon Laplace, còn được gọi là **khai triển phần bù đại số**, là một biểu thức cho định thức |_B_| của một ma

Giá trị riêng và vectơ riêng

phải|nhỏ|250x250px|Ma trận biến đổi _A_ tác động bằng việc kéo dài vectơ _x_ mà không làm đổi phương của nó, vì thế _x_ là một vectơ riêng của _A_. Trong đại số tuyến tính, một

Định thức

**Định thức**, trong đại số tuyến tính, là một hàm cho mỗi ma trận vuông _A_, tương ứng với số vô hướng, ký hiệu là **det**(_A_). Ý nghĩa hình học của định thức là tỷ

Định lý Kirchhoff

Trong lý thuyết đồ thị, **định lý Kirchhoff**, hay **định lý Kirchhoff cho ma trận và cây**, đặt tên theo Gustav Kirchhoff, là một định lý về số cây bao trùm của một đồ thị.

Danh sách chủ đề toán học

Bài này nói về từ điển các chủ đề trong toán học. ## 0-9 * -0 * 0 * 6174 ## A * AES * ARCH * ARMA * Ada Lovelace * Adrien-Marie Legendre *

Lý thuyết đồ thị

nhỏ|phải|Hình vẽ một đồ thị có 6 đỉnh và 7 cạnh Trong toán học và tin học, **lý thuyết đồ thị** (tiếng Anh: _graph theory_) nghiên cứu các tính chất của đồ thị. Một cách

Đồ thị hai phía đầy đủ

Trong lý thuyết đồ thị, một **đồ thị hai phía đầy đủ** (tiếng Anh: Complete bipartite graph hoặc biclique) là một dạng đồ thị hai phía đặc biệt, trong đó mỗi đỉnh của tập thứ

Lý thuyết điều khiển tự động

Khái niệm của vòng phản hồi dùng để điều khiển hành vi động lực của hệ thống: đây là phản hồi âm, vì giá trị cảm biến (sensor) bị trừ đi từ giá trị mong

Hàm truyền

Trong kỹ thuật, **hàm truyền** (còn được gọi là **hàm hệ thống** hoặc **hàm mạng**) của thành phần hệ thống điện tử hoặc điều khiển là một hàm toán học mô hình hóa lý thuyết

Phân phối chuẩn

\; \exp\left(-\frac{\left(x-\mu\right)^2}{2\sigma^2} \right) \!| cdf =

\frac12 \left(1 + \mathrm{erf}\,\frac{x-\mu}{\sigma\sqrt2}\right) \!

| mean =

\mu

| median =

\mu

| mode =

\mu

| variance =

\sigma^2

| skewness = 0| kurtosis =

0

| entropy =

\ln\left(\sigma\sqrt{2\,\pi\,e}\right)\!

| mgf =

M_X(t)= \exp\left(\mu\,t+\frac{\sigma^2 t^2}{2}\right)

| char =

\phi_X(t)=\exp\left(\mu\,i\,t-\frac{\sigma^2 t^2}{2}\right)

| **Phân phối

Hàm sinh mô men

Trong lý thuyết xác suất và thống kê, **hàm sinh mô men** (**moment-generating function** hay **MGF**) của một biến ngẫu nhiên là một mô tả thay thế cho hàm phân phối xác suất của nó.

Phân phối xác suất

Trong toán học và thống kê, một **phân phối xác suất** hay thường gọi hơn là một **hàm phân phối xác suất** là quy luật cho biết cách gán mỗi xác suất cho mỗi khoảng

Kỹ thuật điều khiển

nhỏ|320x320px|Các hệ thống điều khiển đóng một vai trò quan trọng trong du hành không gian **Kỹ thuật điều khiển** hoặc **Kỹ thuật hệ thống điều khiển **là chuyên ngành kỹ thuật mà áp dụng

Ứng Dụng Matlab Và Simulink Trong Kỹ Thuật

MATLAB/Simulink có nhiều công cụ dễ ứng dụng, và những hàm tích hợp sẵn để giải hoặc mô phỏng những phương trình vi phân. Cuốn sách này trình bày cách sử dụng MATLAB để giải

Danh sách vấn đề mở trong toán học

Danh sách các vấn đề mở trong toán học ## Danh sách các bài toán mở trong toán học nói chung Nhiều nha toán học và tổ chức đã xuất bản danh sách cái bài

Nguyên tử hydro

phải|nhỏ|200x200px|Mô phỏng một nguyên tử hydro cho thấy đường kính bằng xấp xỉ hai lần bán kính [[mô hình Bohr. (Ảnh mang tính minh họa)]] Một **nguyên tử hydro** là một nguyên tử của nguyên tố hóa

Cơ học lượng tử

thumb|upright=1.3|Các [[hàm sóng của electron trong một nguyên tử hydro tại các mức năng lượng khác nhau. Cơ học lượng tử không dự đoán chính xác vị trí của một hạt trong không gian, nó

Danh sách thuật toán

Bài viết này là **danh sách các thuật toán** cùng một mô tả ngắn cho mỗi thuật toán. ## Thuật toán tổ hợp ### Thuật toán tổ hợp tổng quát * Thuật toán Brent: tìm

Bài giảng Lý Thuyết Mạch - Nguyễn Hữu Phát (Chủ biên), Đào Lê Thu Thảo

Cuốn sách được biên soạn làm giáo trình học tập môn học Lý thuyết mạch cho sinh viên chuyên ngành Điện tử – Viễn thông, ngành Điện – Điện tử, phù hợp với chương trình

Logarit

Quy tắc Sarrus

phải|nhỏ|_Quy tắc Sarrus_: Định thức của ba cột bên trái là tổng của các tích chéo xuống sang phải trừ đi tổng của các tích chéo lên sang phải **Quy tắc Sarrus** là một phương pháp

Quá trình Gram–Schmidt

phải|khung|Hai bước đầu tiên của quá trình Gram–Schmidt Trong toán học, đặc biệt là trong lĩnh vực đại số tuyến tính và giải tích số, **quá trình Gram–Schmidt** là một phương pháp trực chuẩn hóa

Sách Khách Sạn Mặt Nạ Tập 2 - Đêm Trước Lễ Hội Hóa Trang (Tặng kèm Bộ Bookmark Love Book)

Tập 1: Một vụ giết người hàng loạt bí ẩn ở Tokyo. Hiện chưa rõ nghi phạm và mục tiêu tiếp theo. Điều duy nhất từ mật mã hung thủ để lại ám chỉ nơi

Khách Sạn Mặt Nạ - Tập 2

Khách Sạn Mặt Nạ - Tập 2 Tập 1: Một vụ giết người hàng loạt bí ẩn ở Tokyo. Hiện chưa rõ nghi phạm và mục tiêu tiếp theo. Điều duy nhất từ mật mã

Sách Nhã Nam - Khách Sạn Mặt Nạ 2 - Đêm Trước Lễ Hội Hóa Trang

Khách Sạn Mặt Nạ 2 - Đêm Trước Lễ Hội Hóa Trang ------------ Tập 1: Một vụ giết người hàng loạt bí ẩn ở Tokyo. Hiện chưa rõ nghi phạm và mục tiêu tiếp

Khách Sạn Mặt Nạ 2 - Đêm Trước Lễ Hội Hóa Trang

Khách Sạn Mặt Nạ 2 - Đêm Trước Lễ Hội Hóa Trang ------------ Tập 1: Một vụ giết người hàng loạt bí ẩn ở Tokyo. Hiện chưa rõ nghi phạm và mục tiêu tiếp

Hệ quy chiếu quay

**Hệ quy chiếu quay** là một hệ quy chiếu phi quán tính quay so với một hệ quy chiếu quán tính. Ví dụ về hệ quy chiếu quay có thể thấy được hằng ngày là

Khách Sạn Mặt Nạ 1

Khách Sạn Mặt Nạ 1 ------------ Tập 1: Một vụ giết người hàng loạt bí ẩn ở Tokyo. Hiện chưa rõ nghi phạm và mục tiêu tiếp theo. Điều duy nhất từ mật mã

Khách Sạn Mặt Nạ - Tập 2

Tập 1: Một vụ giết người hàng loạt bí ẩn ở Tokyo. Hiện chưa rõ nghi phạm và mục tiêu tiếp theo. Điều duy nhất từ mật mã hung thủ để lại ám chỉ nơi

Khách Sạn Mặt Nạ 2 - Đêm Trước Lễ Hội Hóa Trang

Tập 1: Một vụ giết người hàng loạt bí ẩn ở Tokyo. Hiện chưa rõ nghi phạm và mục tiêu tiếp theo. Điều duy nhất từ mật mã hung thủ để lại ám chỉ nơi

Khách Sạn Mặt Nạ - Tập 1

Khách Sạn Mặt Nạ - Tập 1 Tập 1: Một vụ giết người hàng loạt bí ẩn ở Tokyo. Hiện chưa rõ nghi phạm và mục tiêu tiếp theo. Điều duy nhất từ mật mã

Khách Sạn Mặt Nạ 1

Tập 1: Một vụ giết người hàng loạt bí ẩn ở Tokyo. Hiện chưa rõ nghi phạm và mục tiêu tiếp theo. Điều duy nhất từ mật mã hung thủ để lại ám chỉ nơi

Sách Khách Sạn Mặt Nạ Tập 1 (Tặng kèm Bộ Bookmark Love Book)

Tập 1: Một vụ giết người hàng loạt bí ẩn ở Tokyo. Hiện chưa rõ nghi phạm và mục tiêu tiếp theo. Điều duy nhất từ mật mã hung thủ để lại ám chỉ nơi

Sách Nhã Nam - Khách Sạn Mặt Nạ 1

Khách Sạn Mặt Nạ 1 ------------ Tập 1: Một vụ giết người hàng loạt bí ẩn ở Tokyo. Hiện chưa rõ nghi phạm và mục tiêu tiếp theo. Điều duy nhất từ mật mã

Khách Sạn Mặt Nạ - Tập 1

Tập 1: Một vụ giết người hàng loạt bí ẩn ở Tokyo. Hiện chưa rõ nghi phạm và mục tiêu tiếp theo. Điều duy nhất từ mật mã hung thủ để lại ám chỉ nơi

Ánh xạ

thumb|220x124px | right | Ánh xạ liên tục giữa hai topo Trong toán học, **ánh xạ** (Tiếng Anh: _mapping/_ Tiếng Hán:映射) là một khái niệm chỉ quan hệ hai ngôi giữa hai tập hợp liên

Phần bù bình phương

Trong đại số sơ cấp, **phần bù bình phương** là phương thức chuyển đổi một đa thức bậc hai theo dạng :

ax^2 + bx + c\,\!

thành dạng :

a(\cdots\cdots)^2 + \mbox{constant}.\,

Theo

Lý thuyết mạch

Cuốn sách trang bị những kiến thức cơ bản về mạch điện, từ đó đi sâu nghiên cứu về các mạch kinh điển và phương pháp phân tích các mạch đó, đồng thời, cung cấp

Thủy triều

Triều lên (nước lớn) và triều xuống (nước ròng) tại [[vịnh Fundy.]] **Thủy triều** là hiện tượng nước biển, nước sông... lên xuống trong một chu kỳ thời gian phụ thuộc biến chuyển thiên văn.

Lịch sử thiên văn học

_[[Nhà thiên văn học (Vermeer)|Nhà thiên văn_, họa phẩm của Johannes Vermeer, hiện vật bảo tàng Louvre, Paris]] **Thiên văn học** là một trong những môn khoa học ra đời sớm nhất trong lịch sử

Hải Phòng

**Hải Phòng** là một trong sáu thành phố trực thuộc trung ương của Việt Nam. Đây là thành phố lớn thứ 3 Việt Nam về quy mô kinh tế, đồng thời là một thành phố

Đồ Sơn (quận)

**Đồ Sơn** là một quận nội thành cũ thuộc thành phố Hải Phòng, Việt Nam. ## Địa lý Quận Đồ Sơn nằm ở phía đông nam thành phố Hải Phòng, cách trung tâm thành phố