✨Hàm số chẵn và lẻ

nhỏ| Hàm [[sin và tất cả các đa thức Taylor của nó đều là các hàm lẻ. Hình ảnh này cho thấy $\backslash sin(x)$ và các xấp xỉ Taylor của nó, các đa thức bậc 1, 3, 5, 7, 9, 11 và 13.]] nhỏ| Hàm [[Hàm lượng giác|cosine và tất cả các đa thức Taylor của nó đều là các hàm chẵn. Hình ảnh này cho thấy $\backslash cos(x)$ và xấp xỉ Taylor của nó ở bậc 4.]] Trong toán học, hàm số chẵn và hàm số lẻ là các hàm số thỏa mãn các quan hệ đối xứng nhất định khi lấy nghịch đảo phép cộng. Chúng rất quan trọng trong nhiều lĩnh vực của giải tích toán, đặc biệt trong lý thuyết chuỗi lũy thừa và chuỗi Fourier. Chúng được đặt tên theo tính chẵn lẻ của số mũ lũy thừa của hàm lũy thừa thỏa mãn từng điều kiện: hàm số $f(x)\; =\; x^n$ là một hàm chẵn nếu n là một số nguyên chẵn, và nó là hàm lẻ nếu n là một số nguyên lẻ.

Định nghĩa và ví dụ

Hàm số thực thường được phân loại thành hàm chẵn hoặc lẻ, tức là các hàm số với giá trị thực của một biến thực. Tuy nhiên, có thể định nghĩa tổng quát hơn khi miền xác định và miền đích của hàm đều có tính nghịch đảo phép cộng. Các tập này bao gồm các nhóm Abel, mọi vành, trường và không gian vectơ. Vì thế, chẳng hạn một hàm thực hay một hàm giá trị phức của một biến vectơ đều có thể là hàm chẵn hoặc lẻ, và cứ như vậy.

Dưới đây là một số ví dụ về các hàm thực để minh họa tính đối xứng của đồ thị các hàm đó.

Hàm số chẵn

phải|nhỏ| $f(x)=x^2$ là một ví dụ về một hàm chẵn. Cho f là một hàm số giá trị thực của một đối số thực. Vậy thì f là chẵn nếu điều kiện sau được thỏa mãn với mọi x sao cho cả x và -x đều thuộc miền xác định của f: hoặc phát biểu một cách tương đương, nếu phương trình sau thỏa mãn với mọi x trong miền xác định:

: $f(x)\; -\; f(-x)\; =\; 0.$

Về mặt hình học, đồ thị của một hàm số chẵn đối xứng qua trục y, nghĩa là đồ thị của nó giữ không đổi sau phép lấy đối xứng qua trục y.

Ví dụ về các hàm chẵn là:

• Hàm giá trị tuyệt đối $x\; \backslash mapsto\; |x|$
• Các hàm đơn thức dạng $x\; \backslash mapsto\; x^\{2n\}$
• Hàm cosin $\backslash cos,$
• Hàm cosin hyperbolic $\backslash cosh.$

Hàm số lẻ

phải|nhỏ| $f(x)=x^3$ là một ví dụ về một hàm lẻ. Tiếp tục cho f là một hàm có giá trị thực của một đối số (biến) thực. Vậy f là hàm số lẻ nếu phương trình sau thỏa mãn với mọi x sao cho x và -x đều nằm trong miền xác định của f:

• Tích phân của một hàm chẵn từ −A đến +A bằng hai lần tích phân từ 0 đến +A (trong đó A là hữu hạn và hàm không có tiệm cận đứng giữa −A và A. Điều này cũng đúng khi A là vô hạn, nhưng chỉ khi tích phân hội tụ); tức là

Chuỗi

• Khai triển chuỗi Maclaurin của một hàm chẵn chỉ bao gồm các lũy thừa chẵn.
• Chuỗi Maclaurin của một hàm lẻ chỉ bao gồm các lũy thừa lẻ.
• Chuỗi Fourier của một hàm tuần hoàn chẵn chỉ bao gồm các số hạng dạng cosin.
• Chuỗi Fourier của một hàm tuần hoàn lẻ chỉ bao gồm các số hạng dạng sin.
• Biến đổi Fourier của một hàm số chẵn có giá trị thuần số thực là thực và chẵn.
• Biến đổi Fourier của một hàm số lẻ có giá trị thuần số thực là ảo và lẻ.

Hàm điều hòa

Trong xử lý tín hiệu, méo hài xảy ra khi một tín hiệu sóng sin được gửi qua một hệ thống phi tuyến không có bộ nhớ, tức là một hệ thống mà đầu ra tại thời điểm t chỉ phụ thuộc vào đầu vào tại chính thời điểm đó và không phụ thuộc vào đầu vào tại bất kỳ thời điểm nào trước đó. Một hệ thống như vậy được biểu diễn bằng một hàm đáp ứng $V$\text{out}(t) = f(V\text{in}(t)). Loại hàm điều hòa sinh ra phụ thuộc vào hàm đáp ứng f:

• Khi hàm đáp ứng là chẵn, tín hiệu kết quả sẽ chỉ chứa các điều hòa bậc chẵn của sóng sin đầu vào; $0f,\; 2f,\; 4f,\; 6f,\; \backslash dots$ Chế độ cơ bản $f$ cũng là một điều hòa bậc lẻ, nên nó sẽ không xuất hiện. Một ví dụ đơn giản trong trường hợp này là một bộ chỉnh lưu toàn sóng. ** Thành phần $0f$ thể hiện DC offset, do bản chất một phía của các hàm truyền đối xứng chẵn.
• Khi hàm là lẻ, tín hiệu kết quả chỉ gồm các điều hòa bậc lẻ của sóng sin đầu vào; $1f,\; 3f,\; 5f,\; \backslash dots$ Tín hiệu đầu ra sẽ có đối xứng nửa sóng. Một ví dụ đơn giản là sự xén âm trong một bộ khuếch đại đẩy kéo.
• Khi hàm không có tính đối xứng, tín hiệu kết quả có thể chứa điều hòa bậc chẵn hoặc lẻ; $1f,\; 2f,\; 3f,\; \backslash dots$ ** Một ví dụ đơn giản là một bộ chỉnh lưu nửa sóng, và xén âm trong một bộ khuếch đại lớp A bất đối xứng.

Cần lưu ý rằng điều này không còn đúng đối với các dạng sóng phức tạp hơn. Một sóng dạng răng cưa chẳng hạn, chứa cả điều hòa bậc chẵn và lẻ. Sau khi chỉnh lưu chẵn toàn sóng, nó trở thành một sóng tam giác, sóng này ngoài DC offset ra thì chỉ chứa các điều hòa bậc lẻ.

Tổng quát hóa

Hàm đa biến

Đối xứng chẵn:

Một hàm $f:\; \backslash mathbb\{R\}^n\; \backslash to\; \backslash mathbb\{R\}$ được gọi là có đối xứng chẵn nếu thỏa mãn:

: $f(x\_1,x\_2,\backslash ldots,x\_n)=f(-x\_1,-x\_2,\backslash ldots,-x\_n)\; \backslash quad\; \backslash text\{với\; mọi\; \}\; x\_1,\backslash ldots,x\_n\; \backslash in\; \backslash mathbb\{R\}$

Đối xứng lẻ:

Một hàm $f:\; \backslash mathbb\{R\}^n\; \backslash to\; \backslash mathbb\{R\}$ được gọi là có đối xứng lẻ nếu thỏa mãn:

: $f(x\_1,x\_2,\backslash ldots,x\_n)=-f(-x\_1,-x\_2,\backslash ldots,-x\_n)\; \backslash quad\; \backslash text\{với\; mọi\; \}\; x\_1,\backslash ldots,x\_n\; \backslash in\; \backslash mathbb\{R\}$

Các hàm có giá trị phức

Các định nghĩa cho đối xứng chẵn và lẻ cho các hàm giá trị phức với đối số thực là tương tự như trường hợp hàm giá trị thực nhưng liên quan đến liên hợp phức.

Đối xứng chẵn:

Một hàm giá trị phức với đối số thực $f:\; \backslash mathbb\{R\}\; \backslash to\; \backslash mathbb\{C\}$ được gọi là có đối xứng lẻ nếu:

: $f(x)=\backslash overline\{f(-x)\}\; \backslash quad\; \backslash text\{với\; mọi\; \}\; x\; \backslash in\; \backslash mathbb\{R\}$

Đối xứng lẻ:

Một hàm giá trị phức với đối số thực $f:\; \backslash mathbb\{R\}\; \backslash to\; \backslash mathbb\{C\}$ được gọi là có đối xứng lẻ nếu:

: $f(x)=-\backslash overline\{f(-x)\}\; \backslash quad\; \backslash text\{với\; mọi\; \}\; x\; \backslash in\; \backslash mathbb\{R\}$

Dãy có độ dài hữu hạn

Định nghĩa đối xứng lẻ và chẵn còn được mở rộng cho các dãy _N-_điểm (ví dụ các hàm có dạng $f:\; \backslash left\{0,1,\backslash ldots,N-1\backslash right\}\; \backslash to\; \backslash mathbb\{R\}$) như sau:

Đối xứng chẵn:

Một dãy _N-_điểm được gọi là có đối xứng chẵn nếu

: $f(n)\; =\; f(N-n)\; \backslash quad\; \backslash text\{với\; mọi\; \}\; n\; \backslash in\; \backslash left\{\; 1,\backslash ldots,N-1\; \backslash right\}.$

Một dãy như vậy thường được gọi là dãy palindrome; xem thêm Đa thức palindrome.

Đối xứng lẻ:

Một dãy N-điểm được gọi là có đối xứng lẻ nếu

Một dãy như vậy đôi khi còn được gọi là một dãy anti-palindrome; xem thêm Đa thức antipalindrome.