✨Phép hợp

phải|nhỏ|Hợp của A và B Cho A và B là các tập hợp, khi đó hợp (cũng được gọi là hội hay union) của A và B là tập gồm tất cả các phần tử A và các phần tử của B, và không chứa phần tử nào khác. Hợp của A và B được viết là "A ∪ B". Hợp là khi chúng ta gộp 2 tập hợp lại với nhau.

Hợp của hai tập hợp

Hợp của hai tập hợp A và B là tập các phần tử vừa thuộc A, vừa thuộc B, hoặc thuộc cả hai A và B. Sử dụng ký pháp xây dựng tập hợp,

:$A\; \backslash cup\; B\; =\; \{\; x:\; x\; \backslash in\; A\; \backslash text\{\; hoặc\; \}\; x\; \backslash in\; B\}$.

Lấy ví dụ, nếu A = {1, 2, 3, 4} và B = {1, 2, 4, 6, 7} thì A ∪ B = {1, 2, 3, 4, 6, 7}. Một ví dụ bao gồm hai tập vô hạn là: : A = {x là số nguyên chẵn lớn hơn 1} : B = {x là số nguyên lẻ lớn hơn 1} : $A\; \backslash cup\; B\; =\; \{2,3,4,5,6,\; \backslash dots\}$

Một ví dụ nữa về tính chất là phần tử của: số 9 không nằm trong hợp của các số nguyên tố {2, 3, 5, 7, 11, ...} và tập các số chẵn {2, 4, 6, 8, 10, ...}, vì 9 không nguyên tố và cũng không chẵn.

Tập hợp không thể lặp lại phần tử, nên hợp của hai tập {1, 2, 3} và {2, 3, 4} là {1, 2, 3, 4}.

Tính chất đại số

Phép hợp hai tập hợp là phép toán hai ngôi có tính kết hợp; nghĩa là, cho bất kỳ tập $A,\; B,\; \backslash text\{\; và\; \}\; C,$

$$A\; \backslash cup\; (B\; \backslash cup\; C)\; =\; (A\; \backslash cup\; B)\; \backslash cup\; C.$$

Do vậy, có thể bỏ dấu ngoặc đi mà không làm mất giá trị: cả hai cách viết ở trên đều có thể viết thành $A\; \backslash cup\; B\; \backslash cup\; C.$ Ngoài ra phép hợp còn có giao hoán,do đó có thể đổi chỗ các tập hợp trong biểu thức . Tập rỗng là phần tử trung hòa cho phép hợp. Tức là, $A\; \backslash cup\; \backslash varnothing\; =\; A,$ với mọi tập $A.$ Bên cạnh đó phép hợp còn có tính lũy đẳng: $A\; \backslash cup\; A\; =\; A.$ Tất cả tính chất này đều tương tự với phép tuyển.

Phép giao phân phối trên phép hợp

$$A\; \backslash cap\; (B\; \backslash cup\; C)\; =\; (A\; \backslash cap\; B)\backslash cup(A\; \backslash cap\; C)$$ và ngược lại, phép hợp phân phối trên phép giao

Hợp của một họ tập hợp

Cách viết tổng quát nhất là hợp của một họ tùy ý các tập hợp, đôi khi được gọi là họ vô hạn. Nếu M là tập hợp hay lớp mà các phần tử là các tập hợp thì x là phần tử thuộc hợp của M khi và chỉ khi tồn tại ít nhất một phần tử A thuộc M sao cho x là phần tử của A. Dưới ký hiệu: : $x\; \backslash in\; \backslash bigcup\; \backslash mathbf\{M\}\; \backslash iff\; \backslash exists\; A\; \backslash in\; \backslash mathbf\{M\},\backslash \; x\; \backslash in\; A.$ Cách viết này tổng quát hóa cho ví dụ trước, A ∪ B ∪ C là hợp của họ {A, B, C}. Ngoài ra, nếu họ M rỗng, thì hợp của M cũng rỗng.

Ký hiệu

Ký hiệu cho hợp của một họ có thể khác nhau. Đối với họ hữu hạn các tập $S\_1,\; S\_2,\; S\_3,\; \backslash dots\; ,\; S\_n$, ta có thể viết $S\_1\; \backslash cup\; S\_2\; \backslash cup\; S\_3\; \backslash cup\; \backslash dots\; \backslash cup\; S$n hoặc $\backslash bigcup${i=1}^n Si. Các cách ký hiệu khác bao gồm $\backslash bigcup\; \backslash mathbf\{M\}$, $\backslash bigcup${A\in\mathbf{M A, và $\backslash bigcup${i\in I} A{i}. Cách ký hiệu cuối $\backslash left\{A\_i\; :\; i\; \backslash in\; I\backslash right\}$ được dùng khi I là tập chỉ số và $A\_i$ là tâp hợp với mọi $i\; \backslash in\; I$. Trong trường hợp tập chỉ số I là tập các số tự nhiên, ta có thể dùng ký hiệu $\backslash bigcup${i=1}^{\infty} A{i}, tương tự với tổng vô hạn trong chuỗi. Trong TeX, $\backslash cup$ được viết là \cup còn $\backslash bigcup$ được viết từ \bigcup.