✨Bổ đề Fatou

thumb|Pierre Fatou (1878-1929) Bổ đề Fatou là một bất đẳng thức liên quan đến tích phân Lebesgue về giới hạn cận dưới đúng của một dãy hàm số và tích phân của hàm số đó. Bổ đề được đặt tên theo nhà toán học Pierre Fatou. Vì là một bổ đề, nó giúp chứng minh các định lý quan trọng về lý thuyết hội tụ của hàm số như định lý Fatou-Lebesgue, định lý về sự hội tụ đơn điệu và định lý về sự hội tụ bị chặn.

Bổ đề được phát biểu như sau:

:_Cho f₁, f₂, f₃,. . . là một dãy các hàm số đo được không âm trên một không gian đo(S,Μ,_μ'').

:_Định nghĩa một hàm f : S → [0, ∞] tạo thành bởi :$f(s)\; =\backslash liminf${n\to\infty} f_n(s),\qquad s\in S.

:_Thì _f _ đo được và _ :$\backslash int\_S\; f\backslash ,d\backslash mu\; \backslash le\; \backslash liminf\_\{n\backslash to\backslash infty\}\; \backslash int\_S\; f\_n\backslash ,d\backslash mu\backslash ,.$''

Chứng minh

Đặt $g$k = \inf{n\ge_k} f_n Từ đó ta có $g$k \nearrow \liminf{n\to\infty} \ f_n *Theo định lý về sự hội tụ của hàm số, ta có :$\backslash int$S \liminf{n\to\infty} f{n} \,d\mu = \lim{k\to\infty} \int_S gk\,d\mu \le \liminf{n\to\infty} \int_S f_n\,d\mu\,

Ví dụ

Cho một không gian $S$ có Xíchma đại số Borel và độ đo Lebesgue. Đối với không gian xác suất: Cho $S\; =\; [0,1]$. Với mọi số tự nhiên n: :: Đối với hội tụ đều: Cho $S$ là tập hợp tất cả các số thực: ::

Như vậy ta thấy, các dãy $\{f$n}{n\in\N} trên hội tụ về 0 từng đôi một trên $S$, nhưng mọi dãy lại có tích phân bằng 1.

Bổ đề Fatou ngược

Cho f₁, f₂,. . . là một dãy các hàm số đo được lấy giá trị trên $\backslash overline\{\backslash mathbb\{R$. Định nghĩa một không gian đo (S,M,μ). Nếu có một hàm khả tích không âm g trên S sao cho f_n ≤ g với mọi n, thì :$\backslash limsup\_\{n\backslash to\backslash infty\}\backslash int\_S\; f\_n\backslash ,d\backslash mu\backslash leq\backslash int$S\limsup{n\to\infty}f_n\,d\mu.

;Chứng minh Ta dùng bổ đề Fatou cho dãy không âm g - f_n.